Titres et Résumés

Boris Adamczewski, Méthode de Mahler : relations linéaires et transcendance

Une fonction mahlérienne est une solution, analytique au voisinage de l'origine, d'une équation aux différences linéaire associée à l'opérateur de Mahler z → z^q, où q ≥ 2 est un entier. Déterminer la nature d'une telle fonction aux points algébriques du disque unité est un problème qui remonte aux travaux précurseurs de Mahler dans les années vingt. Dans cet exposé, je décrirai en quoi ce problème peut-être considéré comme totalement résolu aujourd'hui, suite aux travaux de Ku. Nishioka, Philippon, Faverjon et l'orateur.

Yves André,  Extensions et raffinements de la théorie de Galois différentielle

La théorie de Galois classique traite d’extensions finies étales de corps ; la théorie du groupe fondamental de Grothendieck en est la généralisation naturelle lorsqu’on passe des corps aux anneaux. La théorie de Galois différentielle classique traite d’extensions de corps différentiels engendrées par des solutions d’équations différentielles linéaires ; quelle en est la généralisation naturelle lorsqu’on passe des corps aux anneaux différentiels ? Une réponse passe par la notion d’algèbre de solutions, et par une correspondance galoisienne raffinée qui fait intervenir non seulement les groupes et torseurs habituels, mais aussi les variétés quasi-homogènes (affines). Il se trouve que le spectre d’une algèbre de solutions est toujours un fibré algébrique sur le spectre de l’anneau différentiel de base, ce qui a des implications en théorie des nombres transcendants.

Daniel Bertrand, Retour sur quelques lemmes de zéros

Je tenterai  de faire le point sur les lemmes de multiplicités pour les approximants de Padé de solutions d'EDL et leur (in)effectivité : méthode de Shidlovsky, méthode de Fuchs, inégalité de Chudnovsky-Osgood. 

Alin Bostan, Algorithmic proof for the transcendence of D-finite power series

Given a sequence represented by a linear recurrence with polynomial coefficients and sufficiently many initial terms, a natural question is whether the transcendence of its generating function can be decided algorithmically. The question is non trivial even for sequences satisfying a recurrence of first order. An algorithm due to Michael Singer is sufficient, in principle, to answer the general case. However, this algorithm suffers from too high a complexity to be effective in practice. We will present a recent method that we have used to treat a non-trivial combinatorial example.  It reduces the question of transcendence to a (structured) linear algebra problem.

Sara Checcoli, Autour de certaines propriétés arithmétiques des fonctions de Mahler

Une fonction de Mahler est une série formelle f(x) à coefficients complexes telle que les séries f(x), f(x^k), f(x^{k^2}),..., f(x^{k^n}) soient linéairement dépendantes sur C(x) pour certains entiers k ≥ 2 et n ≥ 1. L'étude de ces fonctions et de la transcendance de leurs valeurs aux points algébriques a été initiée par Mahler dans les années 30 et ensuite développée par plusieurs auteurs. Dans cet exposé, nous allons aborder quelques aspects arithmétiques des fonctions de Mahler. Lorsque f(x) satisfait une équation de la forme f(x)=p(x)f(x^k), où p(x) est un polynôme à coefficients entiers, nous montrerons comment certaines caractéristiques de f(x) se reflètent sur p(x), notamment en liaison avec la théorie des automates. Si le temps le permet, nous aborderons quelques analogies entre les fonctions de Mahler et les E- et les G-fonctions. Il s'agit d'un travail en commun avec Julien Roques.

Lucia Di Vizio, Calcul de l'algèbre de Lie du groupe de Galois différentiel

Je vais décrire un algorithme de calcul de l'algèbre de Lie du groupe de Galois différentiel d'un module différentiel absoluement irréductible, basé sur la caractérisation des formes réduites due à Aparicio Monforte-Compoint-Weil. Il s'agit d'un travail en collaboration avec M. Barkatou, T. Cluzeau et J.-A. Weil.

Stéphane Fischler, Lemme de Shidlovsky et irrationalité de valeurs de zêta

Le lemme de Shidlovsky est une majoration de l'ordre d'annulation en 0 d'une combinaison linéaire, à coefficients polynomiaux, de fonctions holonomes. En suivant des travaux de Bertrand-Beukers et Bertrand, on peut le généraliser pour qu'il s'applique aux solutions de problèmes d'approximation de Padé en plusieurs points (y compris éventuellement à l'infini). Cela permet d'obtenir une nouvelle preuve du théorème de Ball-Rivoal sur l'irrationalité d'une infinité de valeurs de la fonction zêta de Riemann aux entiers impairs, dans laquelle le critère d'indépendance linéaire de Nesterenko est remplacé par celui de Siegel. La même approche fournit aussi une nouvelle preuve, et un raffinement, du théorème de Nishimoto sur les valeurs de fonctions L de caractères de Dirichlet.

Charlotte Hardouin, Marches à petit pas sur une courbe algébrique

L'étude des marches aléatoires dans le plan et leur énumération est un sujet classique en combinatoire avec de nombreuses applications en probabilités ainsi qu'en physique mathématique. Si on ne restreint pas ces marches à un certain domaine du plan ou si elles sont contraintes  à demeurer dans un demi plan, on  peut entièrement expliciter la  série génératrice associée au problème d'énumération et montrer qu'elle est algébrique. La situation des marches confinées au quart plan est cependant plus complexe et c'est dans un article majeur que Bousquet-Mélou et Mishna en ont initié l’étude et donné  la classification.  S'inspirant de travaux de Fayolle-Iasnogorodski et Malyshev,  elles attachent  à chaque marche dans le quart plan un groupe d'applications birationnelles  et prouvent à l'exception d'un cas traité plus tard par  Bostan, van Hoeij and Kauers, que la finitude de ce groupe entraîne l'holonomie de la série génératrice. Bousquet-Mélou et Mishna  conjecturent alors que, pour les 51 marches non singulières de groupe infini, la série génératrice n'est pas holonome. Cette conjecture sera démontrée par  Kurkova et Raschel. Utilisant des méthodes d'uniformisation analytique, ils prouvent qu'une uniformisée de la série génératrice est solution d'une équation fonctionnelle à coefficients elliptiques et réduisent la conjecture à une étude fine des pôles de la série modulo  le réseau de la courbe elliptique. Dans un article en collaboration avec Dreyfus, Roques et Singer, nous  montrons que dans 42 des 51 cas, la série est non seulement non holonome mais hypertranscendante, c'est-à-dire ne satisfait pas d'équation différentielle algébrique. Dans les 9 cas restants, nous concluons  que la série génératrice est hyperalgébrique  à l'instar des récents travaux de Bernardi, Bousquet-Mélou et Raschel. Notre approche réside dans une approche intrinsèque de l'équation fonctionnelle qui permet de prendre en compte le corps de définition de la courbe elliptique et d'adopter ainsi une approche galoisienne. Nous pouvons ainsi donner un critère purement diophantien à l'hypertranscendance des séries génératrices de marches à poids.

Françoise Jung, Autour de DESIR

L'exposé sera composé de deux parties.
- dans la première, je présenterai la bibliothèque DESIR. Ecrite en maple, celle-ci permet l'étude formelle, numérique et graphique des solutions d'équations différentielles linéaires à coefficients polynomiaux dans le champ complexe. En particulier, des fonctions sont disponibles pour calculer une approximation des matrices de Stokes, au voisinage des singularités irrégulières, et faciliter l'utilisation des séries divergentes pour approcher les solutions.
- dans la deuxième partie, je m'intéresserai à une équation particulière, la "prolate spheroidal wave equation" et présenterai quelques résultats sur le phénomène de Stokes et les valeurs propres de cette équation.

Christian Krattenthaler, Versions tronquées d'un lemme de Dieudonné et Dwork et p-divisibilité des fonctions arithmétiques

Ce lemme de Dieudonné et Dwork donne un critère pour une exponentielle d'une série S(z) avec coefficients dans Q_p d'avoir des coefficients dans Z_p. Je propose des théorèmes sur la valuation p-adique des coefficients de exp(S(z)) sous des conditions plus faible que dans le lemme de Dieudonné et Dwork. Comme application, je montrerai des bornes inféreures précises sur la valuation p-adique du nombre des réprésentations d'un p-groupe abélien fini dans un groupe symétrique. C'est un travail effectué en commun avec Thomas Müller.

Oleg Lisovyi, Fonctions de Painlevé, déterminants de Fredholm et combinatoire

J'expliquerai une construction explicite de solutions des équations isomonodromiques dans le cas Fuchsien. Nous allons représenter la fonction tau isomonodromique des systèmes Fuchsiens à n singularités régulières et monodromie générique dans GL_N(C) sous la forme d'un déterminant de Fredholm. L'opérateur associé agit dans la somme de N(n-3) copies de L^2(S^1). Son noyau intégral s'exprime en fonction de solutions fondamentales de n-2 systèmes Fuchsiens élémentaires à 3 points. Dans le cas du rang N=2, ces blocs élémentaires possèdent des représentations hypergéométriques, le noyau devient complétement explicite et est donné dans la base de Fourier par une matrice infinie de Cauchy. Nous montrerons que le développement du déterminant en mineurs principaux fournit une série combinatoire pour la fonction tau du système de Garnier (conjecturée précédemment via son identification avec la fonction de partition duale de Nekrasov-Okounkov). La spécialisation de ce résultat à n=4 fournit une représentation explicite pour la solution générale de l'équation de Painlevé VI.

Jacques Sauloy, Théorie analytique locale des équations aux q-différences de pentes arbitraires

La classification et la théorie de Galois analytiques locales des équations aux q-différences par Ramis, S et Zhang ont reposent en grande partie sur l'hypothèse que les pentes sont entières, Virginie Bugeaud ayant toutefois obtenu des résultats partiels au-delà (cas de deux pentes arbitraires). Il semble cependant (c'est un travail en cours) que l'on puisse à moindres frais s'affranchir totalement de cette hypothèse. Les résultats espérés font appel à ceux de Ramis, S et Zhang, ainsi qu'à la théorie de Galois formelle obtenue par van der Put et Reversat.